第478章 NS方程的首次尝试 二 (ω·?)u（1/2）

徐辰將刚才写满推导过程的草稿纸推到一边，抽出一张新纸，在最上面重新写下了n-s方程的表达式，只是这一次，他把维度参数从 d=2 换成了 d=3。

“既然纤维丛和示性类的框架在二维里能行得通，那么强行套用到三维流形上，究竟会从哪一步开始崩溃呢？”

徐辰其实心里很清楚，三维n-s方程绝不可能这么轻易就被解开。如果真能顺理成章地平推过去，克雷研究所那一百万美元的悬赏也不至於掛了二十多年无人问津。

他现在其实是在做一场压力测试。就像他当初攻克哥德巴赫猜想一样，哪怕最终的“徐氏谱变换”再怎么优雅，也是建立在前期走过无数弯路的基础之上的。

他要知道现有的拓扑和代数几何工具，在面对三维流体时，其边界到底在哪里，才能为日后真正铸造解决n-s方程的“新武器”指明方向。

……

徐辰兴致勃勃地转著笔，脑海中已经开始构建三维空间下的联络形式。

起初的十分钟，推导进行得异常顺利。他轻车熟路地將三维速度场映射到几何结构上，准备像刚才一样，利用外代数的反对称性，优雅地將那个烦人的非线性对流项给“物理抹除”。

然而，当他的笔尖推进到核心的涡量方程（vorticity equation）时，动作突然停住了。

徐辰的眉头微微皱了起来。

在二维方程中，自动归零的那一项，在三维的方程里……变异了。

在三维坐標系下，方程的右边犹如幽灵般多出了一个项：

(w·?)u

其中 w（欧米伽） 代表涡量矢量（描述流体旋转的强度和方向），? （nabla算子）是梯度算子，u 是速度场。这个项的含义是：流体的涡量在速度梯度的作用下，会被不断地拉伸和加强。简单来说，就是二维完全没有的“拉扯“效应。

“这是什么鬼东西……”

徐辰不死心，试图用陈-西蒙斯形式去包裹这个多出来的项，试图將其强行转化为某种边界积分。

失败。

他又尝试引入高阶的索伯列夫空间，配合里奇流的几何演化思想，试图用几何的语言去压制住这个项的增长。

还是失败。

再试一次，这次换用调和分析的思路，利用傅立叶乘子理论去分解这个非线性项……

还是失败。

半个小时过去，草稿纸上出现了一大片被用力涂黑的废稿，徐辰的坐姿也从放鬆的后仰变成了紧绷的前倾。

一个小时后。

徐辰把笔扔在了桌子上，揉了揉有些发胀的太阳穴，盯著纸面上那团乱麻般的公式，长长地吐出了一口浊气。

“果然没那么简单。”

……

直到这一刻，真刀真枪地和三维n-s方程拼了一次刺刀，徐辰才终於明白，为什么这个方程能把全人类最聪明的脑袋折磨整整两个世纪，为什么克雷数学研究所悬赏的一百万美元放了二十多年都没人能拿走。

维度从二维变成三维，听起来只是多了一个z轴，但在流体力学的微观世界里，这简直是从“新手村”直接被传送到了“地狱级最终副本”！

问题的根源，就出在他刚才怎么也消不掉的那个项上——(w·?)u。

在物理学和流体力学中，这个项有一个极其恐怖的名字：涡旋拉伸。

二维流体之所以那么“乖巧”，是因为在平面里，涡量（描述流体旋转强度的物理量）只是一个標量。它就像是一片漂浮在水面上的树叶，水流怎么走，它就跟著怎么走。它会被流体“搬运”，但绝对不会被“拉伸”。这意味著，不管水流怎么翻滚，能量只能乖乖地从大尺度传递到小尺度，最终被水的粘性温和地耗散掉，永远不会失控。