第296章 恭喜你（1/2）

他拽过一张空白的草稿纸，笔尖落下去的速度快得像是在追赶什么东西。

先用顾辛流型把飞行包线三组方程的子流形分別描述。

推进子流形、结构子流形、热控子流形，三个子流形各自独立，通过辛几何的约化程序把各自的物理量映射到位形空间的同一个点上。

三个子流形的交集就是耦合面，而这个耦合面在顾辛流型上的原像，恰好是一个拉格朗日子流形。

在辛几何里，拉格朗日子流形的曲率有一个非常好的性质，那就是它可以被分解为两个部分，一部分来自子流形本身的內在几何，而另一部分则来自子流形嵌入外围空间的方式。

这个分解是辛几何里一个经典的结果，叫做darboux-weinstein分解。

內在部分对应的是每个子系统自己的物理规律，这部分在之前的论文中里已经处理过了。

嵌入部分对应的就是两个子系统在接口上相互作用的几何效应，这就是曲率奇异的源头。

他开始继续往下推。

顾辛流型上的分层筛法可以把嵌入部分的曲率从整个流形的曲率里单独拆出来。

拆出来之后，鞍点圆法沿著最速下降曲线去积分，绕开所有振盪项，积分路径不再被动地被网格束缚，而是主动去选一条误差最小的路。

这整套操作，和邹杨在报告里写的降维映射是完全一致的思路，只是邹杨他们用的是工程语言，而肖宿用的是几何语言。

说穿了就是把时间维度变成一个新的坐標轴，把飞行包线从“时间演化的三维空间”映射成“四维的几何空间”。

在这个四维空间里，从亚音速到高超音速那段最难算的区间不再是时间的函数，而是一条静態的曲线，曲线的曲率就是飞行包线的耦合刚性。

肖宿在草稿纸上写满了推导，从顾辛流型的约化程序一路推到鞍点圆法的积分路径构造，中间还补了两个引理。写到最后一个等號画出来的时候，他停了笔，盯著那个等號右边的东西看了好一会儿。

那个表达式简洁得不像话。

耦合刚性区映射到几何空间后，复杂度从o(e?)降到了o(n3log n)，比邹杨估算的o(n3)还多了一个对数因子，但那个对数因子不是坏事，它是分层筛法在噪声里拆主项时產生的额外精度余量，相当於给后续的工程实现白送了一个误差缓衝。

肖宿把这张草稿纸放到一边，重新拿起了另一张。

既然飞行包线的模板有了，那接下来就是把这个模板套回到ns方程上了。

ns方程的法旗方向曲率，本质上就是惯性子流形和粘性子流形在交接面上的嵌入曲率。

把惯性项和粘性项分別用顾辛流型描述，两个子流形的交接面就是涡拉伸发生的区域，而这个交接面的嵌入曲率就是法旗方向的曲率发散。

一旦思路通了，其他的就不是问题了。

肖宿逐渐开始越写越快。

他直接用飞行包线推导里的darboux-weinstein分解，把ns方程流形上的曲率拆成了內在部分和嵌入部分。

內在部分对应的是纯惯性运动和纯粘性耗散，这部分在《burgers方程与一维类比》里已经解决过了。

嵌入部分对应的就是惯性项和粘性项的相互作用，也就是涡拉伸。

然后就轮到分层筛法上场了。

涡拉伸在流场上並不是均匀分布的，它集中在某些特定的区域，这些区域恰好就是嵌入曲率最大的地方。

用分层筛法把这些区域从整个流场上筛出来，再用鞍点圆法沿著嵌入曲率的最速下降方向去积分，就可以把法旗方向的曲率发散精確地拆解成一列收敛的几何级数。

每一级对应涡拉伸的一个尺度层级，从大到小依次排列，越往后的层级能量越小，收敛速度越快。

这比单纯的“处理奇性”要深刻得多。

以前的数学家们面对ns方程的奇性，要么试图绕开它，要么试图用更高的数值精度去硬扛它，但肖宿的做法不是绕，也不是扛，而是直接把奇性本身变成了解的一部分。

奇性不再是需要被消除的东西，而是涡拉伸在几何上的指纹。

每一个曲率发散的位置、每一个发散的模式、每一个发散的强度，都在描述涡拉伸是怎么发生的、在哪里发生的、以多大的能量发生的。