第4章 看不懂……就要扣分吗？（1/2）

啊？

数学老师们一愣。

好小眾的问题啊。

什么叫只有145分？

二中的学生，本次摸底考，数学最高分不过120分，平均分五六十分，你考了145分，还嫌少？

数学教研组长方明拿著齐物的卷子道：“咳咳，齐物同学，是最后一道导数压轴题的第二问扣了5分。”

压轴题？

齐物回忆了一下，没觉得哪里做错了。

“你的答案是对的，但是步骤不太对，连基本的辅助函数都没构造，跨度太大了，所以我们扣了你5分的步骤分。”

老师们纷纷吃瓜，

翻出了本次摸底考最后一道压轴题：

【已知函数f（x）=lnx-a/x。

（1）討论f（x）的单调性；

（2）若f（x）存在两个零点x1、x2，且x1<x2，证明，x1·x2>e2。】

一道经典的极值点偏移问题。

方组长道：“正確的解法应该是先求导，再找到极值点x0，然后构造一个对称的辅助函数f（x）=f（x）-f（e2/x）或者f（x）=f（x）-f（2x0-x）。

然后，利用导数证明f(x)的单调性，结合零点定理，放缩不等式，经过严密计算，可以推导出x1·x2>e2。”

齐物点了点头，说的没错。

“齐同学，你的答案，没有构造辅助函数，没有求导放缩，上来你就进行换元，令t=lnx，然后得出了一个什么w（a）……虽然结论正確，但这本就是证明题，步骤缺失，我们扣了5分。”

原来是这样——

齐物又默默把白板抽了出来，拿起马克笔，缓缓道：“各位老师，我认为，构造辅助函数去强行证明，是很愚蠢的方法。”

？？

老师们皱眉，没办法求出精確的解析解时，构造辅助函数是常用的方法啊。

“为什么不直接把根求出来呢？”

齐物此刻倒像是老师，下面排排坐的老师是学生。

有年轻老师问道：“这个方程怎么可能求出解析解呢？”

齐物闻言道：“水平不够的人，当然求不出。”

？？

我擦嘞？

倒反天罡？

你说谁水平不够？

虽然我们是中下游二本毕业，但好歹是老师啊。

齐物转过身，开始在白板上书写：

“题干里的f（x）=lnx-a/x，稍微变形一下，就是xlnx=a。

令t=lnx，那么原方程就变成了te^t=a。”

齐物停了一下笔，看了一眼“求知若渴”的数学老师们：“看到这种方程，很明显，我们注意到，完全可以引入朗博w函数。”

？？

啥？

数学老师们一愣。

“朗……什么函数？”

“注意到？怎么注意到的？”

……

“朗博w函数。”

齐物在白板上写出来，“也就是函数f（w）=we^w的泛函数呀。

引入它，方程te^t=a的解就可以直接写成t=w(a)。

带回原式，我们就得到了两个零点x1、x2的精確表达式：

x=e^w(a).”

？？

数学老师们目瞪口呆。

他们似乎想起来了，朗博w函数在《特殊函数》、《复变函数》等课本里学过！

但是早忘了！

这种数学工具，怎么会从一个高中生嘴里说出来？

只听齐物继续道：

“因为题目中说有两个零点，这在复变函数里，对应了朗博w函数的两个实数分支：

主分支w0（a）和负分支w-1（a），所以x1=e^w-1（a），x2=e^w0（a）。

我们来看题目，要求证明x1·x2>e2，带入，也就是证明：

e^w-1（a）+w0（a）>e2，取对数，即证明w-1（a）+w0（a）>2。”

“答案，已经很明显了吧。”

老师们面无表情。

很明显？

哪里很明显？

有些想不起来w-1（a）和w0（a）有什么玄机了呢。

“根据朗博w函数在渐近线处的级数展开性质，当变量a满足存在双根的条件时，这个不等式，很显然是成立的。

q·e·d（证毕）。”

啊？

证明完了？

毕业於琅琊大学数学系、年轻的小刘数学老师很想举手问一下。

但是——

还是忍住了。