第17章 十大数学难题之一（2/2）

罗伦盯著淡金色面板上显现出的第五题，眉头微微皱了皱，表情有些扭曲。

不是这道题太难，而是这道题出得太奇怪了一些。

【请用四种不同的方法严谨证明：如果p是一个素数，而整数a不是p的倍数，则有a^（p-1）≡1（mod p）。】

“这不就是费马小定理么，但用四种方法来证明它是什么鬼？”

罗伦很確定，面板上需要证明的这道题，就是他前世所为人熟知的费马小定理，同时也是初等数论的四大基本定理之一。

要证明这个问题本身，並不难。

但要用四种不同的方法证明这个问题，却稍微有些挑战性。

当然，也只是『稍微』罢了。

罗伦脑子里下意识冒出来的，便是用群论证明。

“有一种方法，是用群论中的拉格朗日定理来证明，討论有限群与与其子群的关係，构造模p乘法群，p为素数，其阶为p-1，直接就能完成证明。”

“不过，群论在这个世界应该还属於未诞生的概念，不能直接拿来用……”

对於这个世界的前沿数学水平，罗伦现在还处於一个一知半解的状態。

这里的民间数学，基本是没什么深度的，比较初等。

修行圈內的数学水平无疑要高出一截，但究竟高到了什么地步，还有待商榷。

从罗伦目前所了解到的信息来看，微积分是已经诞生了的，但微积分具体发展到了哪个阶段，他也不太清楚。

而群论这个东西，虽然独立於微积分之外，但若代数研究与数论研究，没有深入到一个比较抽象的层次，这玩意儿是不太可能诞生的，因为涉及到了一套新的数学运算规则，要从底层逻辑上进行重构。

当然，也不一定，反正罗伦现在是一头雾水，比较抓瞎。

回头得想办法好好確定一下。

“除了群论证法以外，还有哪些证法呢？”

“欧拉定理，嗯，初等数论中的欧拉定理可以，费马小定理本来就是欧拉定理的一个特例，只要把欧拉定理弄出来了，费马小定理就是p为素数时的天然推论。”

“欧拉定理怎么证来著？我想想……”

勾连上前世资料库，罗伦稍作回忆，便找出了关於数论欧拉定理的初等证法。

第一种证法搞定，他又开始思索起了第二种证法。

“如果利用多项式x^p-x在域fp的性质，似乎可以完成证明？不过，用到了域论和多项式环的一些定义……又得跟群论扯上关係，算了算了。”

“换一种思路，如果让多项式的代数结构与组合不变量產生联繫，再通过旋转对称性，应该也能完成证明？”

罗伦顺著这个思路捋了捋，发现若將问题中的模p运算与素数长度项炼的旋转对称性对应起来，也可以走通。

第二种证法搞定。

“记得费马小定理有一种证法，和二项式展开相关，怎么证明来著？”

罗伦回想了下，又在前世资料库里翻了翻，很快有了思路：

“大概是通过二项式定理展开比较係数，利用指数p为素数的特殊性，再结合归纳法，就可证明费马小定理，嗯，第三种证法也有了。”

“对了，差点把完全剩余系给忘了，这才是初等数论中证明费马小定理最基础的方法啊。”

至此，四种证法，全被罗伦给找齐了。

並且，还都是比较通俗易懂的初等证法，不涉及抽象代数、高等数论与拓扑学等高深知识。

罗伦再次在脑海中梳理了下四种初等证法，没太大问题，都能走通。

而后，他也不迟疑，调整了下证法次序，便提笔往淡金色面板的空白处书写起了二项式展开+归纳法的证明过程。

隨著他的书写，相应的证明內容，也几乎同步浮现在了伊莎贝尔与爱德华的眼前。