第29章 他终於动笔了（2/2）

不到十五分钟，他便写下了全部解：(1，1)和所有形如(k2-3， k)且 k为大於等於2的正整数的解对。

李振华教授的呼吸，微微一滯。

【他……他轻鬆地绕开了所有的陷阱！用一种更高维度的视角，直接看到了问题的本质！】

如果说，之前那个京城四中的天才，是用精妙的剑法，一招一式地拆解了巨兽的防御。那么徐辰，就像一个神明，只是淡淡地瞥了巨兽一眼，那巨兽便自动献上了自己的命门！

【这小子的数论功底，深不可测。】李振华教授心想。

徐辰没有停顿，目光移向了第二题。

……

徐辰没有停顿，目光移向了第二题。

【题目二：在一个10x10的棋盘上，放置了若干个“l”形的三格骨牌（可以旋转），每个骨牌恰好覆盖3个方格，且互不重叠。问：棋盘上最多能空出多少个格子？】

李振华教授的眼神也变得专注起来。这是一道经典的组合几何与染色问题的结合体，看似简单，实则是“不变量”思想的绝佳体现。这类问题的核心，不在於去尝试千万种具体的摆放方案，而在於找到一个在骨牌覆盖下保持不变的性质，从而导出数量的上界。

【关键，在於染色。】李振华教授的脑海中，瞬间闪过了几种常规的染色方案。

【最简单的黑白二染色？不行。】他立刻否定，【一个l形骨牌，要么覆盖2个黑格1个白格，要么1黑2白。这无法提供一个恆定的约束，变量太多，无法得出確定的上界。】

【那四染色法呢？根据坐標的奇偶性將棋盘染成四种顏色？】他继续思考，【这是一种更强的工具，在处理多米诺骨牌问题时有奇效。但对於l形骨牌……它的形状不规则，旋转后占据的顏色组合依然会变化，还是很难找到那个简洁的不变量。】

他知道，这道题的標准解法之一，就是通过一种更复杂的行染色或列染色，结合一些巧妙的代数论证来完成，过程並不直观，对学生的思维转换能力要求很高。他看到考场中已经有几位选手在尝试用不同的顏色涂抹草稿纸，但大多陷入了困境。

而徐辰，在短暂的思考后，动笔了。

他没有像其他人那样对整个10x10的棋盘进行染色，而是在草稿纸上，先画了一个3x3的方格。然后，用三种顏色，进行了一种奇异的、从中心开始向外盘旋的螺旋式染色。

【螺旋染色？】李振华教授的眉头微微一挑。

这种染色方式他当然见过，在一些计算机图形学的算法，或者更专门的组合设计理论中，这是一种处理网格问题的非主流但有效的工具。但是，把它用在cmo的赛场上，用在解决l形骨牌问题上？这思路太野了！

紧接著，徐辰將这个3x3的染色“模版”，推广到了整个10x10的棋盘。

然后，李振华教授看到了让他拍案叫绝的一幕。

徐辰基於这种独特的染色方案，只用了短短几行字的论证，便得出了结论：在这种螺旋染色下，100个格子中，三种顏色的格子数分別为34， 33， 33。而任何一个l形骨牌，无论它如何旋转、如何摆放，都必然会占据螺旋路径上位置相邻的三个格子（或者有特定位置关係），而根据三染色的循环规则，这三个格子的顏色，必然是红、黄、蓝各一个！

【我的天……】李振华教授感觉自己的喉咙有些发乾。

他瞬间明白了这种解法的恐怖之处。

【他……他找到了这个问题的『本徵態』！】

常规的染色法，像是用一把通用扳手去拧一颗奇形怪状的螺丝，总有些地方不匹配。而徐辰的这种螺旋染色法，就像是专门为“l形骨牌”这颗螺丝，量身打造的一把完美的、唯一的钥匙！它將l形骨牌的几何特性，与染色方案的代数结构，完美地统一了起来！

因此，被骨牌覆盖的区域中，三种顏色的数量必然是相等的。而棋盘上数量最少的那种顏色（33个），就成了木桶的短板，决定了最多只能放下33个骨牌！

所以，最多能放置33个骨牌，覆盖99个格子。棋盘上，最多空出 100 - 99 = 1个格子。

整个证明过程，简洁，优美，充满了数学的力量感。它完全绕开了去尝试具体摆放方案的巨大工作量，直接从最抽象的结构入手，一击致命。

【妙啊……真是妙到毫巔！】李振华教授心中讚嘆不已，【这种发现问题核心结构並为之构造工具的能力，是成为一名优秀数学家的潜质！】

……

最后，是第三题。