第40章 竞赛集训第一课，再次降维打击（2/2）

十五分钟后。

阎正放下粉笔。

“这道题有一定难度,你们能做到哪一步,就做到哪一步。”

教室里只有沙沙的写字声。

又过了十分钟。

阎正看向全班。

“谁有思路?”

阎正直接看向最后一排。

“陆昭昭?”

陆昭昭放下笔。

“我写了一个证明,但用到了一个结论,不確定是否超出竞赛范围。”

阎正点点头。

“你先讲讲思路。”

陆昭昭走到讲台前,拿起粉笔。

“我用反证法。假设形如4k+1的质数只有有限个,设为p?,p?,…,p?。”

她的字跡工整。

“构造数n=(2p?p?…p?)2+1”

“注意到n≡1(mod 4),所以n是4k+1型的。”

她继续写道:

“n＞1,必有质因子。设q是n的任一质因子。”

“如果q=2,则2|(2p?p?…p?)2+1,但(2p?p?…p?)2是偶数,加1是奇数,矛盾。”

“所以q是奇质数。”

“如果q是4k+3型的,那么n的所有质因子都是4k+3型,则n也是4k+3型,与n≡1(mod 4)矛盾。”

“所以q必是4k+1型的质数。”

她停顿了一下。

“但q不在{p?,p?,…,p?}中,因为n除以任何p?都余1。”

“这与假设矛盾。所以形如4k+1的质数有无穷多个。”

陆昭昭放下粉笔。

“但这个证明用到了4k+3型质数的乘积还是4k+3型这个性质,需要单独证明。”

阎正点点头。

“这个证明思路是对的。你提到的那个性质確实需要证明,不过很简单:(4a+3)(4b+3)=16ab+12a+12b+9=4(4ab+3a+3b+2)+1,所以两个4k+3型数的乘积是4k+1型。这说明如果n的所有质因子都是4k+3型,n就不可能是4k+1型。”

他转身面向全班。

“陆昭昭的证明用到了数论中的构造法和反证法,思路很清晰。这类证明在竞赛中经常出现,大家要好好体会。”

阎正看了一眼时间。

“今天的课就到这里。”

他扫视全班。

“回去后好好复习今天讲的內容,特別是同余的性质和因式分解的技巧。下周会有测试。”

学生们陆续收拾东西离开。

陆安安走到门口,回头看了一眼。

陆昭昭正在整理书包,表情平静。

【该死……】

【她不仅会做,还能讲得这么清楚。】

陆安安咬了咬嘴唇,快步走出教室。

走廊里,几个竞赛组的男生聚在一起。

“陆昭昭也太厉害了吧,一道题能想出三种方法。”

“是啊,而且每种方法都讲得特別清楚,我全听懂了。”

“不过她平时看起来挺冷淡的,不太好接近。”

陆安安路过时,听到这些话,脸色更加难看。

她加快脚步,走向教学楼。

拐角处,沈逸正倚在墙边等她。

“安安。”

他走上前。

“怎么样?第一天集训还习惯吗?”

陆安安勉强笑了笑。“还好。”

沈逸看出她情绪不对。

“怎么了?是不是有人欺负你?”

陆安安摇摇头。“没有,只是……”

她顿了顿。

“姐姐她在竞赛组表现得很好,大家都很佩服她。”

沈逸皱眉。

“陆昭昭?她能有多好?”

陆安安低下头。

“她用了三种方法解同一道题,每种方法都很完整,讲得也很清楚。阎老师一直在夸她。”

沈逸愣住。

“什么?”

陆安安抬起头,眼中带著委屈。

“沈逸哥哥,我觉得自己好没用。”

“我明明那么努力,可还是比不上她。”

她停顿了一下,脸色为难的说：

“对了,我昨天晚上回家的时候,看到姐姐在房间里看数学竞赛试题。”

沈逸眼神一动。

“什么试题?”

陆安安好像在回忆著。

“好像就是今天阎老师讲的那些题目。我看到她草稿纸上写的数字和今天黑板上的很像。”

沈逸的表情变得微妙。

“你確定?”

陆安安点点头。

“应该没错。我看到她在写关於质数的证明,今天阎老师就讲了那道4k+1质数的题。”

沈逸眼中闪过一丝深意。

“看来陆昭昭只是运气好,提前看过题而已。”

“等真正比赛的时候,她肯定会露馅。”

陆安安咬著嘴唇。“可是万一……”

“没有万一。”

沈逸打断她。

“我相信你，你才是最棒的！”

陆安安看著他,眼眶微红。“谢谢你,沈逸哥哥。”

沈逸揉了揉她的头。

“走吧,我陪你去吃饭。”

两人並肩走向食堂。