第3章 代数知识（2/2）

譬如『通过某种对称变换，使其降次，达到构造预解式的目的』，用初等代数的话来说，便是消去中间冪次，使得方程的根式解显形。

而若用抽象代数的话来表述，便是在寻找一个有理函数，即某个子域的生成元，然后使得该子域的伽罗瓦群是循环群。

对於没接触过群论思想的人而言，会觉得这种思路非常新奇。

当然，也可能是左耳进右耳出，直接一脸懵逼。

罗伦继续边写边讲：

“现在，我们观察原方程，x^5+10x^3+20x-4=0，移项变换后是x^5+10x^3+20x=4。”

“若將以上的对称结构换元代入方程之中，可以明显发现，除了a与b/a之外，其他的结构，都不能简化方程，反而会让方程变得越来越复杂。”

“而a与b/a，有a+b/a和a-b/a两种，但这里我们直接用a-b/a……”

话到这里，威尔突然打断了罗伦，疑惑道：“为什么要选a-b/a，a+b/a不行吗？”

罗伦微笑道：“当然不行，若把a与b/a分別看成函数，那么a是单调递增函数，b/a则是单调递减函数，它们相加之后就不具有对称美了，所以只能相减。”

事实上，这里更直观的解释，乃是x(a)=a-b/a满足反射对称。

即將a替换成-b/a之后，x的值不变，这在抽象代数中，意味著映射a到-b/a是函数x(a)的一个对称变换，其群作用为z2对合。

威尔恍然大悟：“还真是这样。”

罗伦继续讲道：

“所以，这里我们可以直接令x=a-b/a，其中b是一个常数，这时候便需要確定b的值……换元代入进去后，通过二项式展开化简，可以发现，若令a^3和a项係数为零，可得出b的值，即b=2。”

至此，为什么要令x=a-2/a，罗伦已然通过初等代数的视角全部讲完。

虽然涉及到了一些群论的思想与思路，但总体来说，他所讲的內容依旧严格限定在了『高中阶段』，还是非常通俗易懂的。

“厉害厉害，新奇的思路与构想，感觉以后再遇到类似的解方程问题，都可以通过令x=a-b/a的方法来快速换元解决了。”

此时此刻，爱德华忍不住拍手讚嘆了一声。

只觉自己的脑子有种奇特的通透感。

他看向罗伦，眼中充满了浓郁的好奇之色，笑著道：“这位先生，你看起来太陌生了，以前从未在学识大厅见过你，我叫爱德华，不知你怎么称呼？”

“罗伦，我今日是第一次来学识大厅。”

“原来是罗伦先生。”爱德华拿起桌上那一张面值5元的金镑，递给罗伦：“来，罗伦先生，这是你应得的报酬，感谢你刚才的解惑。”

“还有我的，给，我本以为，要在这里守上好些时日，这道题才能完成解答的，不曾想，竟是如此快就解出来了……”

威尔也赶忙从怀中掏出6金镑来，笑呵呵地交给罗伦，而后问道：

“对了，不知罗伦先生你在哪里高就啊？听你的口音，不像是银霜城本地人，难道是近期刚来的银霜城？”

罗伦也不客气，乐滋滋接过二人递来的11金镑报酬，小心翼翼叠好揣进怀中后，这才道：

“对，我老家在绿松州雾森市，半年多前来的银霜城，至於高就……”

罗伦笑了笑，坦诚道：“不怕诸位笑话，我目前还处於无业状態，前段时间求职还被拒了，囊中羞涩之下，又听人说学识大厅可以交易知识，这才在今日来此地碰碰运气。”

威尔道：“这很正常，银霜城的某些工作，弯弯绕绕太多，外来者若无人引荐，確实很难竞爭得过他人，不过，以罗伦先生你的代数水平，倒也不必循规蹈矩去求职……”

他说著，指了指金髮青年爱德华：“正巧爱德华就在聘请数学陪教，他现在对你肯定很感兴趣。”

爱德华闻言立刻接过话茬，也不卖什么关子，直言就道：

“不错，我家里目前堆了十几道诞生自梦维度的数学难题，正愁著没有数学高手一起帮忙破解呢，如果罗伦先生你感兴趣的话，可以来我这试试，月薪或许不会太高，也就30金镑，不过……”

说著，他迟疑了下，稍作思量后又道：

“不过，若能完整解答出一道题，或在解题过程中做出了重要贡献，我將额外再每题支付10金镑的报酬。”